큰 수의 법칙, 수학적 확률, 통계적 확률 🎲

정승제 선생님의 말을 인용하였습니다.

 

 

 

큰 수의 법칙, 수학적 확률, 통계적 확률 🎲

확률과 통계의 기초 개념을 이해하는 것은 다양한 문제 해결에 중요한 역할을 한다.
이번 포스트에서는 큰 수의 법칙, 수학적 확률, 그리고 통계적 확률에 대해 살펴보겠다.

 

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1. 큰 수의 법칙 (Law of Large Numbers) 

- 큰 수의 법칙은 반복적인 실험을 통해 어떤 사건이 발생하는 **상대적인 빈도(확률)**가 이론적인 기댓값에 수렴하는 경향을 나타내는 법칙이다.

 

예시

• 동전 던지기를 예로 들어보면, 동전을 10번 던졌을 때 앞면이 나오는 횟수는 정확히 5번이 아닐 수 있지만, 1000번이나 10000번을 던지면 점점 50%에 가까운 비율로 수렴하게 됩니다.
• 즉, 실험을 충분히 많이 반복하면, 경험적 확률이 이론적 확률에 가까워집니다.
  
  

수학적 의미

• 큰 수의 법칙은 확률론에서 중요한 개념으로, 데이터를 많이 수집할수록 평균적인 결과가 기대값에 가까워지는 것을 보장합니다. 이는 통계적 추론의 기반이 되기도 합니다.

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2. 수학적 확률 (Mathematical Probability) 

- 수학적 확률은 특정 사건이 발생할 가능성을 수학적으로 정의한 것이다.

보통 고전적 확률로 설명되며, 가능한 모든 결과의 수와 관심 있는 사건의 수 간의 비율로 정의된다.

정의 

• 수학적 확률 P(A)는 다음과 같이 정의된다.
  

  

예시

• 주사위를 던질 때 1이 나올 확률은

• 이 확률은 모든 경우가 동등하게 가능하고, 사건이 미리 정의되어 있다는 전제하에 적용된다.
• 수학적 확률은 이론적으로 계산되며, 주로 동등한 확률 조건이 적용될 수 있는 경우에 사용된다.

 

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3. 통계적 확률 (Statistical Probability) 

- 통계적 확률은 실제 실험이나 관찰을 통해 특정 사건이 발생하는 비율을 기반으로 정의된다.
- 즉, 어떤 사건이 얼마나 자주 발생하는지를 관찰하여 추정하는 방식이다.

정의

• 통계적 확률 P(A)는 다음과 같이 정의된다.
  
  

예시

• 동전을 100번 던졌을 때, 앞면이 48번 나왔다면, 앞면이 나올 통계적 확률은
  
  

  

• 이 확률은 실험을 반복할수록 수학적 확률에 점점 가까워진다. (즉, 큰 수의 법칙에 의해)
• 통계적 확률은 실제 관찰된 데이터에 기반하기 때문에 경험적이고 데이터에 의존한다.

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요약 🔍

• 큰 수의 법칙: 실험을 많이 반복할수록 경험적 확률이 수학적 확률에 가까워진다는 법칙입니다.
• 수학적 확률: 특정 사건이 발생할 가능성을 수학적으로 계산하는 방식입니다. (이론적 접근)
• 통계적 확률: 실제 관찰이나 데이터를 통해 사건이 발생할 확률을 추정하는 방식입니다. (경험적 접근)

이 개념들은 확률을 이해하고 예측과 추정을 통해 실생활 문제를 해결하는 데 매우 중요한 역할을 한다. 😊

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[참고]

• 정승제 선생님의 설명
  • https://youtu.be/s_FgzClnCp4?t=80

 

 

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https://podo1017.tistory.com/426